Contre la Covid, en plus des gestes barrière… on aère

Sans remettre en cause le port de masques, lavages de mains et autres distanciations sociales, nos collègues du PMMH se sont intéressés à une autre mesure très simple et d’une efficacité qui a fait ses preuves: l’aération. Lien vers un article paru le 17/10/2020 dans le Monde.

Et toujours sur le Monde du 11/11/2020, une vidéo explicative.

Quelque part, c’est de la mécanique des fluides!

Ondes de surfaces: questions et commentaires

Question: Dans le corrigé de la première partie, à environ 29 minutes quand on veut simplifier l’exponentielle du terme du potentiel des vitesses dans l’équation de Bernoulli, vous essayer de la passer à l’ordre 1 en faisant le DL en exp(2piA/lambda) = 1+(2piA/lambda)^2, le terme au carré est ensuite simplifié car d’odre 2. Mais le DL de l’exponentielle n’est il pas exp(x)=1+x+x^2/2 ? Ce qui laisserait un ordre 1 en exp(2piA/lambda) = 1 + 2piA/lambda, ce qui donnerait une expression de la relation de dispersion différente. Celle qu’on a ici est elle encore valable alors qu’on a fait le développement à l’ordre 0 ?

Réponse: Oops, effectivement je me suis trompé! Désolé. Heureusement cela n’a pas de grande conséquence: le terme en A du 1er ordre se retrouve multiplié par A ce qui conduit à un terme du 2e ordre que l’on néglige.

Ailes & Voiles: Questions & Commentaires

lien vers la page du cours

Question: Pour ce qui est de l’avant dernière partie « Comment faire voler une planche à voile? », je ne comprends pas très bien la différence entre la force de portance calculée au début pour compenser le poids et celle qui fait partie de la force propulsive… Pareil pour la trainée dans la force propulsive par rapport à la trainée « normale »…

Réponse: Le terme de portance fait référence initialement à la force verticale développée sur des ailes qui, s’opposant au poids, permet à un avion de voler. Plus généralement, quand on considère la force exercée sur un objet par un fluide en mouvement, la portance est la composante de force perpendiculaire à l’écoulement moyen, alors que la traînée est la composante de force parallèle à l’écoulement moyen.
Dans le cas de la planche à foil, on considère d’abord l’équilibre des forces sur la direction verticale. On doit alors équilibrer le poids de l’ensemble planche + planchiste avec la force de portance générée par le mouvement horizontal du foil dans l’eau.
Dans le cas de la voile, la force de portance est dans le plan horizontal (une voile est en fait une aile verticale). Il faut alors écrire l’équilibre des forces dans le plan horizontal et on considère uniquement les composantes de force suivant l’axe de déplacement. Il faut équilibrer les forces qui s’opposent au mouvement (traînée hydrodynamique due au mouvement du foil dans l’eau et traînée aérodynamique due à l’ensemble voile +mât et au planchiste) à la force propulsive aérodynamique. Pour calculer cette dernière, on doit projeter la force de portance générée par la voile sur la direction de déplacement. En effet, la voile se comporte exactement comme une aile, si ce n’est qu’elle est orientée verticalement et pas horizontalement. Dans le calcul présenté, on a ignoré la traînée aérodynamique due au planchiste.

Question: Je ne suis pas adepte de la voile mais je ne comprends pas pourquoi l’orientation \beta de la voile n’apparait pas dans les calculs. J’aurais pourtant pensé qu’il s’agissait d’un paramètre important sur lequel jouait le planchiste pour augmenter sa force propulsive.

Réponse: L’orientation de la voile est en effet très importante pour optimiser la force de portance par rapport à la traînée. Ici on suppose que le planchiste a bien orienté sa voile par rapport au vent apparent. Forces de traînée et de portance sont définies par rapport au vent apparent (traînée dans la direction opposée et portance perpendiculaire au vent apparent). Ainsi le réglage de la voile n’apparaît pas explicitement dans le calcul (mais intervient dans les valeurs des coefficients de portance et de traînée).

Portance/Traînée: Questions & Commentaires

Merci, c’est vraiment très clair!

Merci beaucoup pour ces formats aussi détaillés, qui nous permettent de suivre à notre rythme, voir reprendre des passages incompris.

Merci, nous faisons ce que nous pouvons.

Question: Dans la première vidéo, vers 14’30 », comment justifier le fait qu’un écoulement autour d’un cylindre corresponde à la superposition d’un écoulement sans rien + d’une petite perturbation « dipôle » ? En quoi un écoulement autour d’un cylindre relève t-il d’une « petite perturbation »? En quoi le dipôle est-il le « plus petit perturbateur », y a t-il des « ordres » de perturbations en « multipôles »?

Réponse: Effectivement, il y a des ordres de perturbation en multipôles. Les potentiels ou fonctions de courant de ces perturbations doivent obéir à l’équation de Laplace. La perturbation élémentaire est une source ou un puits avec une décroissance en 1/r à 2D.
En additionnant un écoulement uniforme et une source on obtient l’écoulement autour d’un corps qui n’est pas fermé (pour assurer la conservation du débit de la source).
Pour avoir l’écoulement autour d’un corps fermé, la combinaison la plus simple est d’ajouter à un écoulement uniforme une source et un puits de débits égaux en valeur absolue. La ligne de séparation entre l’écoulement interne et l’écoulement externe ressemble à une ellipse. Lorsqu’on rapproche la source et le puits pour former un dipôle la ligne de séparation devient un cercle. Pour représenter l’écoulement autour d’un corps fermé de forme plus compliquée, on peut ajouter une distribution de singularités, pourvu que la somme algébrique des débits de ces singularités soit nulle. À grande distance du corps, c’est le terme dipolaire (en 1/r^2 à 2D) qui va dominer, les singularités d’ordres plus élevés décroissant plus vite que le terme dipolaire.

Si joint un petit programme Matlab illustrant ces types de calculs.

Question : Dans le problème de la portance du cylindre, pourquoi les deux points équatoriaux lorsque gamma =0 ne sont pas définis comme des points de stagnation ?

Réponse : Effectivement, bien vu! Ce sont aussi deux points de stagnation!

TD Tourbillons : Commentaires/Questions et réponses

Question: Je ne comprends pas bien non plus ce que signifie la circulation du tourbillon et à quoi elle est égale.

Réponse: La définition d’une circulation est l’intégrale de la vitesse sur une boucle fermée. D’après le théorème de Stokes (ou « d’Ampère » car on a une analogie avec le magnétisme), cette circulation est égale à l’intégrale de surface du rotationnel de la vitesse sur la surface délimitée par le contour. Si cette boucle englobe le coeur de notre tourbillon idéal, alors cette quantité Γ est constante. Elle caractérise « l’intensité » du tourbillon. Si cette boucle passe à côté du coeur du tourbillon alors la circulation est nulle. C’est équivalent du champ magnétique créé par un fil u remplace B et Γ remplace μΙ. La vorticité ω est également l’équivalent en magnétisme du flux de courant μj.

Voici un complément qui vous explique comment retrouver l’expression du rotationnel en cylindrique.

Question: Bonjour, je n’ai pas compris dans la première vidéo comment on a trouvé la vitesse de rotation du fluide u_theta dans le cas du calcul de la circulation. Comment passe t-on de l’égalité sur les rapports entre vitesses de rotation et le rapport des rayons à la vitesse de rotation générale ?

Réponse: De l’égalité entre le rapport de vitesses inversement proportionnel au rapport des rayons, on peut conclure que u_θ =A/r. A est lié à la circulation de u définie par Γ =2πr u_θ, donc A=Γ/2π.

Voici par ailleurs une version plus détaillée de l’explication du rotationnel.

Question: Dans la première vidéo on utilise l’équation de Bernoulli pour calculer la pression dans un point du tourbillon (en utilisant un point à l’infini comme une référence). Pourtant j’avais l’impression qu’on ne pouvait utiliser cette équation que pour comparer deux points d’une même ligne de courant, non? Est-ce qu’une des hypothèses faite nous permet cette comparaison?

Réponse: En effet si on ne suppose pas l’écoulement irrotationnel, l’équation de Bernoulli n’est valable que sur une ligne de courant. Cependant si l’écoulement est irrotationnel (comme c’est le cas ici), le champ de vitesse dérive d’un potentiel et l’équation de Bernoulli est valable sur tout le volume de l’écoulement.

Question: Bonjour, j’avais une question par rapport à ce qui est dit dans les vidéos. Comment se fait-il que la ligne de vortex ne se referme pas sur elle-même dans le cas d’un cyclone alors qu’il évolue dans le même milieu (air) ?

Réponse: Bonne question! D’ailleurs le problème est mentionné dans la video « so cool » de la chaîne Physics Girl. Ce doit être comme dans l’expérience de la tornade dans une bouteille. Un des bords de la ligne est coupée par une interface (le sol pour une tornade et la surface de l’eau pour la version bouteille). La partie supérieure de la tornade s’élargit pour rejoindre le nuage d’altitude. On passe d’un tourbillon extrêmement localisé à une « supercellule » qui combine un mouvement ascensionnel et une rotation d’ensemble de l’air.

Question: J’ai une question sur la fin de la vidéo 1 sur l’exercice 2. Je n’ai pas compris comment on fait pour calculer la vitesse de tourbillon à 3D qu’induit le tourbillon en O au point M, pourriez-vous détailler un peu plus s’il vous plait ?

Question associée : Pour le calcul de la vitesse induite par un tourbillon situé en O sur l’écoulement en un point M vous poser u(M)=intégrale sur le contour d’une expression que je ne comprends pas (et je ne vois pas comment la retrouver).

Réponse: En fait ce n’est pas du tout évident! Ce qu’on peut retenir c’est qu’il y a une analogie formelle entre le champ de vitesse u créé par une ligne tourbillonnaire et le champ magnétique induit par un courant électrique B qui circule le long d’un fil. La loi présentée est ainsi l’analogue de la loi de Biot et Savart dans laquelle Γ remplace μΙ (voir les détails ici). À titre d’exercice vous pouvez faire le calcul pour une ligne tourbillonnaire droite. On retrouve alors u_θ = Γ/2πr.

Question: Dans le cas du canon à vortex on réutilise la même expression pour la vitesse de déplacement des tourbillons. Pourquoi peut-on réutiliser la même expression ? D’où vient cette vitesse selon z que l’on a pas considérée précédemment ? Comment déterminer le sens de ce déplacement ?

Réponse: L’explication à l’ordre 0 consiste à faire une coupe de l’anneau. Dans cette section on a deux tourbillons contrarotatifs qu’on est tenté de traiter comme une paire tourbillons à 2D (ce qui est grossier car en réalité la ligne tourbillonnaire est courbe et ce n’est pas vraiment « une paire » mais la même ligne qui revient).
Dans cette configuration simplifiée les champs de vitesse des deux tourbillons s’additionnent (additivité des solutions à l’équation de Laplace). Chaque tourbillon tend donc à faire tourner l’autre. Et au final les vitesses linéaires sont Γ/2πd, et la paire de tourbillons avance tout droit.

On peut aussi se demander pourquoi les tourbillons tournent dans ce sens. Au moment de l’éjection de la boîte, le fluide qui passe près du bord du trou est ralenti (encore une couche limite) et va moins vite que le fluide qui passe par le centre du trou. C’est assez bien expliqué dans la video de la chaîne Physics Girl.

Question: J’ai une question concernant la partie 3, lorsqu’on dérive la fonction f pour trouver Utheta. f est bien une fonction de deux variables, r et t, non ? Alors pourquoi peut-on écrire f’ et f » quand on dérive, au lieu de mettre les dérivées partielles de f ?
Commentaire :
En fait c’est bon, c’est une histoire de dérivation de composée ? Du style on fait apparaître la dérivée de f par rapport à sa variable multipliée par la dérivée de sa variable par rapport au temps et ça nous fait bien ce qu’on veut ?

Réponse: Exactement, si on prend par exemple sin(wt-kx), la fonction f serait ici sin et f’ cos. On peut dériver par rapport à t ce qu’il y a à l’intérieur, w.cos(wt-kx) ou par rapport à x, -k.cos(wt-kx)

Question : Dans la partie 1, lors du calcul de la pression, je voulais passer cette fois par l’équation de Navier-Stokes afin de déterminer le champ de pression dans l’espace.
Cependant, en régime stationnaire je trouve que tout est nul …

Avec une expression de u comme : U=Utheta(r) j’obtiens que
(u.grad)u = 0 (ceci est-il bien vrai ou fais-je une erreur quelque part ?)
J’obtiens également que le laplacien vectoriel est nul (les 3 composantes selon le vecteur théta s’annulent)

je me retrouve alors avec rho.g=grad(p) … Ce qui ne me permet absolument pas de retouver l’expression fournie par la loi de Bernoulli …

Réponse : Lorsqu’on travaille en coordonnées cylindriques, l’expression de l’équation de Navier-Stokes est modifiée par rapport à l’expression en coordonnées cartésiennes. Pour la composante radiale de l’équation, il faut rajouter un terme -uθ^2/r (voir les expressions complètes en appendice des notes de cours). Ce terme correspond à l’accélération centripète en mouvement circulaire uniforme (la vitesse ne change pas de module, mais de direction au cours du temps). C’est ce terme qui équilibre le gradient de pression radial. Dit autrement, pour que les particules de fluide se déplacent sur des cercles, il faut leur appliquer une force dirigée vers le centre de rotation.

Il faut noter également la modification de l’expression du terme visqueux suivant theta. Au laplacien de utheta, il faut rajouter -uθ/r^2 et 2/r^2 dur/dθ. Ceci vient de l’expression de la déformation d’un élément de fluide en coordonnées cylindriques. Prenons l’exemple d’une rotation « en bloc » avec uθ = Ω r. Dans cette rotation solide, il n’y a pas de déformation des éléments du milieu bien que uθ dépende de r. On peut vérifier que dans ce cas Δ(uθ) – uθ^2/r est bien nul.

Une version plus détaillé est disponible ici.

TD Bernoulli: Commentaires / Questions et réponses

Je n’ai aucune question, tout était super clair, je voulais juste vous remercier pour votre (super) travail.
Bon courage à vous en cette période difficile, prenez bien soin de vous et de votre famille. Encore une fois merci beaucoup!

Merci beaucoup pour cette vidéo explicative, c’était super facile de suivre. Ça nous permet de bien prendre le temps d’écrire et donc de comprendre.
Les autres professeurs de PC devraient faire pareil!!!!!

Je voulais surtout vous dire que le corrigé de ce TD est très clair et vous remercier du travail que vous avez fait. On espère que les autres professeurs s’inspirent de cette méthode pour les prochaines semaines !
Bon courage à vous et bonne santé. Merci encore !

Merci! Prenez bien soin de vous.

La partie Rappel / synthèse du tout début est vraiment très bien je pense d’ailleurs que ça pourrait être utile en temps normal (en plus sous format vidéo) pour aider à mettre les idées au clair après la lecture du polycopié avant de se lancer dans la préparation des TD. Je pense qu’avoir cette partie avant (en même temps que les énoncés même en temps normal) m’aurait aidé à faire ce TD que je trouvais avant correction plutôt compliqué.

Merci pour la suggestion. Si vous pensez que ça peut aider, allons-y!

Dans l’exercice sur le clap, je me demandais qu’elle est la limite entre cette situation et un effet ventouse ? Il me semble qu’une ventouse fonctionne aussi en chassant de l’air mais tient sans écoulement pendant un certain temps… Alors qu’ici le disque tombe instantanément.

Effectivement, il faut chasser l’air sous la membrane de la ventouse pour engendrer un effet de succion. Néanmoins, une fois l’air chassé, il n’y a plus d’écoulement si le bord de la ventouse est étanche. À l’intérieur de la ventouse, la pression (statique) demeure ainsi plus faible que la pression externe. La force qui découle de cette différence de pression peut ainsi permettre à la ventouse de rester en place.

J’ai simplement une petite question dans la partie 2. on dit que rho.d(phi)/dt vaut rho.u² et en injectant dans Bernoulli vous indiquez que ça fait 1/2.rho.u², ce ne serait pas plutôt 3/2 ? (Même si ce préfacteur dans la suite n’a pas d’importance car on travaille en loi d’échelle).

Effectivement, le coefficient 1/2 dans l’équation « 1/2 \rho u^2 +p=C' » n’est probablement pas tout à fait correct et comme vous l’avez tout à fait compris, c’est le raisonnement en loi d’échelle qui est important. Ceci nous permet d’obtenir au final l’ordre de grandeur de la vitesse minimale de cavitation mais pas sa valeur précise!

Dans la deuxième vidéo (partie 3a), à 6:25, il est question d’un Delta Phi. S’agit-il d’une variation de Phi entre deux instants ? Si c’est le cas, pourquoi n’écrivons nous pas uniquement « Phi » à la place de « Delta Phi » puisque nous travaillons ici en lois d’échelles.

Bonne question! Effectivement, « Delta Phi » est ambigu. « Delta Phi »/L correspond à une variation de Phi dans l’espace alors que le terme suivant se rapporte à la variation de Phi dans le temps. Disons que le potentiel vaut Phi au voisinage des pinces, est quasi nul au delà de L où il ne se passe plus grand chose. Et du coup « Delta Phi » ou « Phi » c’est à peu près la même chose (en ordre de grandeur).

Dans la partie 2, on dit que rho.d(phi)/dt vaut rho.u² et en injectant dans Bernoulli vous indiquez que ça fait 1/2.rho.u², ce ne serait pas plutôt 3/2 ? (Même si ce préfacteur dans la suite n’a pas d’importance car on travaille en loi d’échelle).

Effectivement. L’idée est ici de montrer que les 2 termes sont même ordre de grandeur.

Dans la partie sur la cavitation, au niveau des calculs je n’ai pas de problème mais je pense n’avoir pas tout compris sur l’effet de cavitation… Pourriez-vous ré-expliquer en quoi consiste la cavitation et ses conditions d’apparition et de maintien notamment du point de vue de la pression ?

Effectivement, le problème réel est loin d’être évident. L’idée est que des régions du liquide où la vitesse est très élevée, la pression s’abaisse tellement que le liquide se met à « bouillir » (typiquement 20 m/s pour l’eau). Ici nous avons supposé que nous créions une bulle centimétrique (en fait c’est ce que l’on observe), mais retrouver ce résultat théoriquement dépasse nos compétences! On pourrait se dire que ce volume correspond à peu près au volume d’eau chassé par les pinces. Un autre problème que nous n’avons pas mentionné est celui de la nucléation. Généralement ces bulles croissent à partir de micro-bulles déjà présentes.

Pour la 2e partie de l’exercice nous avons supposé qu’une « bulle de vide » avait en quelque sorte été formée d’un coup de baguette magique et qu’à t=0 le fluide était statique autour de la bulle. Évidemment c’est un peu artificiel, mais cela donne quand même une bonne idée de l’effondrement brutal de la bulle.

Dans la partie dynamique d’implosion, je bloque sur un calcul (celui dans la partie valeur de la constante C r=R). D’après ce qui précède le potentiel des vitesses en r=R devrait être égal à ((-R^2 * R.)/R = -R*R. )… Je ne comprend pas alors comment on en arrive dans l’équation de Bernoulli à sortir le 1/R de la dérivé par rapport au temps…

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