TD Tourbillons : Commentaires/Questions et réponses

Question: Je ne comprends pas bien non plus ce que signifie la circulation du tourbillon et à quoi elle est égale.

Réponse: La définition d’une circulation est l’intégrale de la vitesse sur une boucle fermée. D’après le théorème de Stokes (ou « d’Ampère » car on a une analogie avec le magnétisme), cette circulation est égale à l’intégrale de surface du rotationnel de la vitesse sur la surface délimitée par le contour. Si cette boucle englobe le coeur de notre tourbillon idéal, alors cette quantité Γ est constante. Elle caractérise « l’intensité » du tourbillon. Si cette boucle passe à côté du coeur du tourbillon alors la circulation est nulle. C’est équivalent du champ magnétique créé par un fil u remplace B et Γ remplace μΙ. La vorticité ω est également l’équivalent en magnétisme du flux de courant μj.

Voici un complément qui vous explique comment retrouver l’expression du rotationnel en cylindrique.

Question: Bonjour, je n’ai pas compris dans la première vidéo comment on a trouvé la vitesse de rotation du fluide u_theta dans le cas du calcul de la circulation. Comment passe t-on de l’égalité sur les rapports entre vitesses de rotation et le rapport des rayons à la vitesse de rotation générale ?

Réponse: De l’égalité entre le rapport de vitesses inversement proportionnel au rapport des rayons, on peut conclure que u_θ =A/r. A est lié à la circulation de u définie par Γ =2πr u_θ, donc A=Γ/2π.

Voici par ailleurs une version plus détaillée de l’explication du rotationnel.

Question: Dans la première vidéo on utilise l’équation de Bernoulli pour calculer la pression dans un point du tourbillon (en utilisant un point à l’infini comme une référence). Pourtant j’avais l’impression qu’on ne pouvait utiliser cette équation que pour comparer deux points d’une même ligne de courant, non? Est-ce qu’une des hypothèses faite nous permet cette comparaison?

Réponse: En effet si on ne suppose pas l’écoulement irrotationnel, l’équation de Bernoulli n’est valable que sur une ligne de courant. Cependant si l’écoulement est irrotationnel (comme c’est le cas ici), le champ de vitesse dérive d’un potentiel et l’équation de Bernoulli est valable sur tout le volume de l’écoulement.

Question: Bonjour, j’avais une question par rapport à ce qui est dit dans les vidéos. Comment se fait-il que la ligne de vortex ne se referme pas sur elle-même dans le cas d’un cyclone alors qu’il évolue dans le même milieu (air) ?

Réponse: Bonne question! D’ailleurs le problème est mentionné dans la video « so cool » de la chaîne Physics Girl. Ce doit être comme dans l’expérience de la tornade dans une bouteille. Un des bords de la ligne est coupée par une interface (le sol pour une tornade et la surface de l’eau pour la version bouteille). La partie supérieure de la tornade s’élargit pour rejoindre le nuage d’altitude. On passe d’un tourbillon extrêmement localisé à une « supercellule » qui combine un mouvement ascensionnel et une rotation d’ensemble de l’air.

Question: J’ai une question sur la fin de la vidéo 1 sur l’exercice 2. Je n’ai pas compris comment on fait pour calculer la vitesse de tourbillon à 3D qu’induit le tourbillon en O au point M, pourriez-vous détailler un peu plus s’il vous plait ?

Question associée : Pour le calcul de la vitesse induite par un tourbillon situé en O sur l’écoulement en un point M vous poser u(M)=intégrale sur le contour d’une expression que je ne comprends pas (et je ne vois pas comment la retrouver).

Réponse: En fait ce n’est pas du tout évident! Ce qu’on peut retenir c’est qu’il y a une analogie formelle entre le champ de vitesse u créé par une ligne tourbillonnaire et le champ magnétique induit par un courant électrique B qui circule le long d’un fil. La loi présentée est ainsi l’analogue de la loi de Biot et Savart dans laquelle Γ remplace μΙ (voir les détails ici). À titre d’exercice vous pouvez faire le calcul pour une ligne tourbillonnaire droite. On retrouve alors u_θ = Γ/2πr.

Question: Dans le cas du canon à vortex on réutilise la même expression pour la vitesse de déplacement des tourbillons. Pourquoi peut-on réutiliser la même expression ? D’où vient cette vitesse selon z que l’on a pas considérée précédemment ? Comment déterminer le sens de ce déplacement ?

Réponse: L’explication à l’ordre 0 consiste à faire une coupe de l’anneau. Dans cette section on a deux tourbillons contrarotatifs qu’on est tenté de traiter comme une paire tourbillons à 2D (ce qui est grossier car en réalité la ligne tourbillonnaire est courbe et ce n’est pas vraiment « une paire » mais la même ligne qui revient).
Dans cette configuration simplifiée les champs de vitesse des deux tourbillons s’additionnent (additivité des solutions à l’équation de Laplace). Chaque tourbillon tend donc à faire tourner l’autre. Et au final les vitesses linéaires sont Γ/2πd, et la paire de tourbillons avance tout droit.

On peut aussi se demander pourquoi les tourbillons tournent dans ce sens. Au moment de l’éjection de la boîte, le fluide qui passe près du bord du trou est ralenti (encore une couche limite) et va moins vite que le fluide qui passe par le centre du trou. C’est assez bien expliqué dans la video de la chaîne Physics Girl.

Question: J’ai une question concernant la partie 3, lorsqu’on dérive la fonction f pour trouver Utheta. f est bien une fonction de deux variables, r et t, non ? Alors pourquoi peut-on écrire f’ et f » quand on dérive, au lieu de mettre les dérivées partielles de f ?
Commentaire :
En fait c’est bon, c’est une histoire de dérivation de composée ? Du style on fait apparaître la dérivée de f par rapport à sa variable multipliée par la dérivée de sa variable par rapport au temps et ça nous fait bien ce qu’on veut ?

Réponse: Exactement, si on prend par exemple sin(wt-kx), la fonction f serait ici sin et f’ cos. On peut dériver par rapport à t ce qu’il y a à l’intérieur, w.cos(wt-kx) ou par rapport à x, -k.cos(wt-kx)

Question : Dans la partie 1, lors du calcul de la pression, je voulais passer cette fois par l’équation de Navier-Stokes afin de déterminer le champ de pression dans l’espace.
Cependant, en régime stationnaire je trouve que tout est nul …

Avec une expression de u comme : U=Utheta(r) j’obtiens que
(u.grad)u = 0 (ceci est-il bien vrai ou fais-je une erreur quelque part ?)
J’obtiens également que le laplacien vectoriel est nul (les 3 composantes selon le vecteur théta s’annulent)

je me retrouve alors avec rho.g=grad(p) … Ce qui ne me permet absolument pas de retouver l’expression fournie par la loi de Bernoulli …

Réponse : Lorsqu’on travaille en coordonnées cylindriques, l’expression de l’équation de Navier-Stokes est modifiée par rapport à l’expression en coordonnées cartésiennes. Pour la composante radiale de l’équation, il faut rajouter un terme -uθ^2/r (voir les expressions complètes en appendice des notes de cours). Ce terme correspond à l’accélération centripète en mouvement circulaire uniforme (la vitesse ne change pas de module, mais de direction au cours du temps). C’est ce terme qui équilibre le gradient de pression radial. Dit autrement, pour que les particules de fluide se déplacent sur des cercles, il faut leur appliquer une force dirigée vers le centre de rotation.

Il faut noter également la modification de l’expression du terme visqueux suivant theta. Au laplacien de utheta, il faut rajouter -uθ/r^2 et 2/r^2 dur/dθ. Ceci vient de l’expression de la déformation d’un élément de fluide en coordonnées cylindriques. Prenons l’exemple d’une rotation « en bloc » avec uθ = Ω r. Dans cette rotation solide, il n’y a pas de déformation des éléments du milieu bien que uθ dépende de r. On peut vérifier que dans ce cas Δ(uθ) – uθ^2/r est bien nul.

Une version plus détaillé est disponible ici.